Dars Documents

مساحت مثلث قائم الزاویه برابر قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو است. البته امکان استفاده از روش‌های دیگر نظیر روش هرون و سینوس برای محاسبه مساحت این نوع مثلث وجود دارد. با این وجود، معمولا از قضیه فیثاغورس برای تعیین اندازه‌های مختلف مثلث قائم الزاویه می‌شود. در این مقاله، نحوه محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه را به همراه حل چندین مثال متنوع آموزش می‌دهیم. به علاوه، حالت‌های خاص مثلث قائم الزاویه را نیز مرور می‌کنیم.

مثلث چیست ؟

مثلث، یکی از اشکال هندسی پایه است. این شکل، از سه ضلع و سه راس تشکیل می‌شود. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک مثلث مختلف الاضلاع را نمایش می‌دهد. در این نوع مثلث، اندازه تمام ضلع‌ها و تمام زاویه‌ها متفاوت هستند.

انواع مثلث چه هستند ؟

مثلث‌ها، بر اساس اندازه ضلع و زاویه به موارد زیر تقسیم می‌شوند:

• انواع مثلث بر اساس اندازه ضلع
  • مختلف الاضلاع
  • متساوی الساقین
  • متساوی الاضلاع
• انواع مثلث بر اساس اندازه زاویه
  • حاده
  • قائم الزاویه
  • منفرجه

مساحت چیست ؟

مساحت، سطح بین ضلع‌های اشکال هندسی است. ناحیه هاشور خورده در تصویر زیر، مساحت مثلث را نمایش می‌دهد.

مساحت مثلث چگونه بدست می آید ؟

مساحت مثلث، معمولا از رابطه قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو به دست می‌آید. بر اساس این رابطه، اگر اندازه ارتفاع و قاعده هر نوع مثلثی مشخص باشد، امکان محاسبه مساحت آن مثلث فراهم می‌شود.

فرمول های مساحت مثلث چه هستند ؟

فرمول مساحت تمام مثلث ها بر اساس قاعده و ارتفاع، عبارت است از:

۲ ÷ (ارتفاع $$\times$$ قاعده) = مساحت مثلث

$$A=\frac{b\times h}{2}$$

• A: مساحت مثلث
• b: قاعده
• h: ارتفاع

در صورت مشخص بودن اندازه هر سه ضلع، فرمول مساحت مثلث با سه ضلع (فرمول هرون) نوشته می‌شود:

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

• A: مساحت
• s: نصف محیط مثلث
• a: اندازه ضلع اول
• b: اندازه ضلع دوم
• c: اندازه ضلع سوم

فرمول‌های مساحت مثلث با سینوس نیز عبارت هستند از:

$$Area=\frac{1}{2}bc\sin A$$

• Area: مساحت
• b: اندازه یکی از ضلع‌ها
• c: اندازه ضلع دیگر
• A: زاویه بین دو ضلع با اندازه معلوم

مثال 1: محاسبه مساحت مساحت مثلثی با یک زاویه 90 درجه

یک مثلث با زوایه‌های 40، 50 و 90 درجه را در نظر بگیرید. اگر اندازه قاعده و ارتفاع این مثلث برابر 5 و 6 باشد، مساحت آن چقدر خواهد بود؟

در این مثال، تمام اندازه‌های مورد نیاز برای محاسبه مساحت مثلث به سه روش اصلی داده شده‌اند. با این وجود، به دلیل مشخص بودن قاعده و ارتفاع، از این اندازه‌ها استفاده می‌کنیم. فرمول مساحت مثلث بر اساس قاعده و ارتفاع عبارت است از:

۲ ÷ (ارتفاع $$\times$$ قاعده) = مساحت مثلث

$$A=\frac{b\times h}{2}$$

• A: مساحت مثلث
• b: قاعده برابر 5
• h: ارتفاع برابر 6

اندازه‌های معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$A=\frac{5\times 6}{2}$$

$$A=\frac{30}{2}$$

$$A=15$$

مساحت مثلث برابر 15 است.

مثلث قائم الزاویه چیست ؟

مثلث قائم الزاویه، از انواع مثلث با یک زاویه راست (قائم یا 90 درجه) است. در واقع، وجود یک زاویه 90 درجه در هر مثلثی، آن را تبدیل به یک مثلث قائم الزاویه می‌کند.

اجزای مثلث قائم الزاویه چه هستند ؟

مثلث قائم الزاویه نیز مانند تمام مثلث‌ها، از سه ضلع (قاعده)، سه ارتفاع، سه راس، سه زاویه داخلی و سه زاویه خارجی تشکیل می‌شود. البته در این مثلث، به دو ضلع تشکیل دهنده زاویه 90 درجه، «ساق» و به ضلع مقابل زاویه 90 درجه، «وتر» می‌گویند. اندازه وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه، به منظور تعیین مساحت مورد استفاده قرار می‌گیرند.

در مثلث قائم الزاویه، ساق‌ها، ارتفاع و قاعده نظیر یکدیگر هستند. به عبارت دیگر، اگر اندازه دو ساق این مثلث مشخص باشد، مساحت آن با استفاده از فرمول قاعده (یکی از ساق‌ها) ضربدر ارتفاع (ساق دیگر) تقسیم بر دو به دست می‌آید.

مساحت مثلث قائم الزاویه چگونه بدست می آید؟

مساحت مثلث قائم الزاویه، با استفاده از تمام فرمول‌های مساحت مثلث (قاعده و ارتفاع، هرون و سینوس) قابل محاسبه است. البته به دلیل وجود زاویه قائمه و امکان استفاده از قضیه فیثاغورس، می‌توان فرمول‌های بیشتری را برای محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه نوشت. پس از حل یک مثال، به سراغ معرفی قضیه فیثاغورس و فرمول‌های مخصوص مساحت مثلث قائم الزاویه می‌رویم.

مثال 2: محاسبه مساحت مثلث با دو ضلع

تصویر زیر، یک مثلث با دو ضلع معلوم به اندازه‌های 4 و 5 را نمایش می‌دهد. اگر زاویه بین این دو ضلع برابر 90 درجه باشد، مساحت مثلث چقدر خواهد بود؟

از آنجایی که زاویه بین دو ضلع مثلث برابر 90 درجه است، مثلث، از نوع قائم الزاویه خواهد بود. بنابراین، ضلع‌های تشکیل دهنده زاویه 90 درجه، ساق‌های مثلث هستند. ساق‌های مثلث قائم الزاویه، قاعده و ارتفاع نظیر یکدیگر محسوب می‌شوند. در نتیجه، مساحت مثلث از رابطه زیر به دست می‌آید:

۲ ÷ (ارتفاع $$\times$$ قاعده) = مساحت مثلث

رابطه بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

۲ ÷ (ساق دوم $$\times$$ ساق اول) = مساحت مثلث

$$A=\frac{b\times h}{2}$$

• A: مساحت مثلث
• b: قاعده برابر اندازه یکی از ساق‌ها (4)
• h: ارتفاع برابر اندازه ساق دیگر (5)

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$A=\frac{4\times 5}{2}$$

$$A=\frac{20}{2}$$

$$A=10$$

مساحت مثلث برابر 10 است.

قضیه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه چیست ؟

قضیه فیثاغورس، یک تساوی بین دو عبارت جبری است که رابطه بین اندازه وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه را نمایش می‌دهد. این قضیه، در بسیاری از محاسبات هندسی مرتبط با مثلث‌های قائم الزاویه مورد استفاده قرار می‌گیرد. برای یادگیری قضیه فیثاغورس، تصویر زیر را در نظر بگیرید.

بر اساس عبارت‌های تصویر بالا، رابطه بین وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه، برابر است با:

$$c^2=a^2+b^2$$

• c: وتر مثلث قائم الزاویه
• a: یکی از ساق‌های مثلث
• b: ساق دیگر مثلث

این قضیه، محاسبه اندازه‌های مثلث قائم الزاویه و نوشتن فرمول‌های اختصاصی برای آن را ساده‌تر می‌کند.

مثال 3: محاسبه مساحت مثلث به کمک قضیه فیثاغورس

مساحت مثلث قائم الزاویه با اندازه وتر 5 و اندازه ساق 3 را تعیین کنید.

از آنجایی که اندازه وتر و یکی از ساق‌های مثلث قائم الزاویه را داریم، اندازه ساق دیگر با استفاده از رابطه فیثاغورس قابل محاسبه است:

$$c^2=a^2+b^2$$

• c: وتر برابر 5
• a: یکی از ساق‌ها برابر 3
• b: ساق دیگر مثلث

$$5^2=3^2+b^2$$

$$25=9+b^2$$

$$16=b^2$$

$$\sqrt{16}=b$$

$$4=b$$

با مشخص شدن اندازه ساق دیگر، می‌توانیم از فرمول مساحت بر اساس قاعده و ارتفاع استفاده کنیم:

$$A=\frac{b\times h}{2}$$

$$A=\frac{3\times 4}{2}$$

$$A=\frac{12}{2}$$

$$A=6$$

در نتیجه، مساحت مثلث برابر 6 است. البته، یک فرمول خاص برای مساحت مثلث‌های قائم الزاویه وجود دارد که امکان محاسبه مساحت با استفاده از اندازه وتر و یکی از ساق‌ها را به طور مستقیم فراهم می‌کند. در بخش بعدی (مثال 5)، به معرفی این فرمول خواهیم پرداخت.

فرمول های مساحت مثلث قائم الزاویه چه هستند ؟

علاوه بر فرمول‌های کلی، فرمول‌های دیگری برای محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه با ساق و وتر وجود دارند. در ادامه به معرفی این فرمول‌ها و حل یک مثال برای هر کدام می‌پردازیم.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با ساق

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با ساق‌های معلوم به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A=\frac{a\times b}{2}$$

• A: مساحت مثلث
• a: اندازه یکی از ساق‌ها
• b: اندازه ساق دیگر

مثال 4: محاسبه مساحت مثلث با ساق ها

مساحت مثلث نمایش داده شده در تصویر زیر را به دست بیاورید.

مطابق با تصویر بالا، مثلث از نوع قائم الزاویه با اندازه ساق‌های 7 و 3 است. بنابراین، برای محاسبه مساحت، فرمول زیر را می‌نویسیم:

$$A=\frac{a\times b}{2}$$

• A: مساحت مثلث
• a: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 7
• b: اندازه ساق دیگر برابر 3

$$A=\frac{7\times 3}{2}$$

$$A=\frac{21}{2}$$

$$A=10.5$$

در نتیجه، مساحت مثلث برابر 10/5 است.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه با وتر

به دلیل وجود رابطه بین اندازه وتر و ساق‌های مثلث قائم الزاویه (قضیه فیثاغورس)، می‌توان فرمول مساحت این مثلث را بر حسب وتر و یکی از ساق‌ها نوشت:

$$A=\frac{a\sqrt{c^2–a^2}}{2}$$

• A: مساحت
• a: اندازه یکی از ساق‌ها
• c: اندازه وتر

مثال 5: محاسبه مساحت مثلث با وتر و ساق

مساحت مثلث قائم الزاویه در مثال 2 را بدون استفاده از قضیه فیثاغورس حساب کنید.

در مثال 2 مقاله، مساحت یک مثلث قائم الزاویه با اندازه وتر 5 و اندازه ساق 3 را به کمک قضیه فیثاغورس به دست آوردیم. در اینجا، مساحت را به طور مستقیم و توسط فرمول وتر و ساق تعیین می‌کنیم: